Matrices para representar conexiones

Es una ciudad atravesada por un río que se abre para rodear una pequeña isla. El terreno se divide en cuatro regiones distintas marcadas con letras mayúsculas desde A hasta D. Las partes de la ciudad estaban unidas mediante siete puentes nombradas con minúsculas desde a hasta g. En la parte inferior de la ventana derecha tienes un plano.

El problema de los puentes fue formulado en el siglo XVIII y consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes.

Desplaza el punto rojo e intenta realizar el recorrido propuesto.

Si no consigues realizar el recorrido, observa el gráfico de la parte superior e investiga en Internet acerca de la solución que encontró Euler a este problema en 1736.

Observa el grafo de la parte superior. Las regiones de la ciudad se han representado por puntos  (vértices) y los puentes son las líneas (arcos) que conectan las zonas. También la matriz M ofrece la misma información: la cantidad de conexiones de cada zona de la ciudad con las otras.

Pulsa Ver  laspotencias de Matrices: La potencia A2 indica el número de trayectos diferentes para ir de un vértice a otro utilizando dos líneas, es decir, pasando por otro vértice. En Königsberg sería la cantidad de trayectos para pasar de una zona de la ciudad a otra cruzando dos puentes y pasando por otra región. De la misma manera, la potencia A3 indica el número de caminos diferentes de longitud 3, pasando por tres puentes. Calcula e interpreta A4.

Pulsa sobre el botón Europa en la ventana izquierda . Ahora cambia el contexto, en lugar de zonas tenemos ciudades conectadas por vuelos (que circulan en las dos direcciones) en lugar de puentes. Introduce valores para cantidad de conexiones y realiza las explicaciones de los apartados 2 y 3 en este nuevo contexto.

A     B    C     D

A
B
C
D

Königsberg

Königsberg

Europa

Europa

Matríz del mínimo
número de trayectos:

Nueva matriz

Conexiones

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A

B

C

D

A

B

C

D

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Mapa Europa

Plano Koningsberg

Potencias de matrices

LImpiar recorridos

A-B

A-C

A-D

B-C

B-D

C-D

Introduce conexiones

A

C

B

D

E9: 0
E8: 0
D8: 1
E7: 2
D7: 1
C7: 2
R8 = NaN
E10: 0
D9: 0
C8: 0
B7: 0
E3: 1
C5: E3
D3: 0
D2: 2
C2 = 2
B3: C2
A_1 = (-0.5, -0.5)
A_3 = (-0.5392446138245941, -0.6097467167566193)
E = (19.799999999999983, -4)
F = (19.879999999999985, -4.44)
E2: 1
E4 = 1
L = (0.3112009269272753, 1.2627254826181118)
P = (0.5126222392106129, 0.8748029552576096)
V = (1.8106706961476773, 1.4193865032829298)
BB = (1.8330508419569371, 0.8225826150360036)
a = Line(A_1, xAxis)
A = (-0.03196130881470672, -0.020402877112779643)
O2 = Point(xAxis)
b = Line(A, O2)
A_2 = Point(a)
c = Segment(A, L)
d = Segment(A, V)
e = Segment(A, BB)
f = Line(A_3, a)
A_4 = Point(f)
g = Segment(L, V)
h = Segment(V, BB)
i = Segment(BB, L)
j = Segment(P, L)
k = Segment(P, A)
l = Segment(P, BB)
m = Segment(P, V)
n = OrthogonalLine(A_3, f)
A_5 = Point(n)
A_6 = (3.6458426525069725, 2.516013647936657)
CC = (8.487414195910164, 1.0090838301131682)
t = 0 (slider from 0 to 21, step 1)
B2: 0
C3: 0
C4: 0
B4: 2
D4: 0
E5: 0
B5: 1
D5: E4
p = Circle(A, 1.3)
B = (0.32612102413344884, 1.2925656770304572)
q = Circle(B, 1.61)
r = Circle(A, 2.36)
c_1 = Circle(B, 1.5)
d_1 = Circle(A, 2)
DD = Intersect(q, c_1, 1)
G = Intersect(q, c_1, 1)
H = Intersect(q, c_1, 1)
f_1 = Circle(B, 0.4)
C = (2.010393303982104, -0.1523776621555995)
h_1 = Circle(C, 1.2)
D = (1.930031473797062, 1.3746262116644095)
s = Circle(D, 0.5)
g_1 = Circle(D, 1.45)
e_1 = Circle(A, 1.05)
Paris, Paris_2 = Intersect(g_1, f_1)
matriz1: {{B2, C2, D2, E2}, {B3, C3, D3, E3}, {B4, C4, D4, E4}, {B5, C5, D5, E5}}
ML = (-0.03196130881470672, 0.15117824075821154)
p1: floor(Random[1, 10] / 7)
C10: E8
D10: E9
B10: E7
pp: floor(p1)
B8: C7
B9: D7
C9: D8
matriz2: {{B7, C7, D7, E7}, {B8, C8, D8, E8}, {B9, C9, D9, E9}, {B10, C10, D10, E10}}
oo = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
matriz3 = If(oo ≟ 0, matriz1, matriz2)
MV = (0.07247937162850532, 0.09895790053660553)
MA = (0.1619999548655442, -0.03532297431895279)
LM = (0.29628082972110253, 1.120984559159466)
LA = (0.423101655973574, 1.1433647049687259)
LV = (0.4678619475920935, 1.262725482618111)
AM = (1.8330508419569365, -0.17706389777759768)
AL = (1.9374915224001483, -0.027862925715866217)
AV = (2.0493922514464473, -0.020402877112779643)
VA = (1.9673317168124946, 1.210505142396505)
VL = (1.7659104045291572, 1.3522460658551498)
VM = (1.84797093916311, 1.2478053854119378)
B12 = If(oo ≟ 0, B2, B7)
C12 = If(oo ≟ 0, C2, C7)
D12 = If(oo ≟ 0, D2, D7)
E12 = If(oo ≟ 0, E2, E7)
B13 = If(oo ≟ 0, B3, B8)
C13 = If(oo ≟ 0, C3, C8)
D13 = If(oo ≟ 0, D3, D8)
E13 = If(oo ≟ 0, E3, E8)
B14 = If(oo ≟ 0, B4, B9)
C14 = If(oo ≟ 0, C4, C9)
D14 = If(oo ≟ 0, D4, D9)
E14 = If(oo ≟ 0, E4, E9)
B15 = If(oo ≟ 0, B5, B10)
C15 = If(oo ≟ 0, C5, C10)
D15 = If(oo ≟ 0, D5, D10)
E15 = If(oo ≟ 0, E5, E10)
MM1 = (-0.01704121160853357, 0.13625814355203839)
MM2 = (0.10977961464393819, 0.03181746310882637)
LL1 = (0.4604018989890072, 1.2179651909995914)
LL2 = (0.3335810727365354, 1.0762242675409466)
VV1 = (1.900191279384716, 1.2179651909995914)
VV2 = (1.795750598941504, 1.3074857742366304)
AA1 = (1.8778111335754561, -0.15468375196833797)
AA2 = (1.9673317168124949, 0.03927751171191294)
cm = CircleArc(A, MM1, MM2)
cl = CircleArc(B, LL1, LL2)
cv = CircleArc(D, VV1, VV2)
ca = CircleArc(C, AA1, AA2)
cl_1: (c * l)
B22: 3
C22: 1
D22: 1
E23: 1
C24: 1
B25: 1
E22: 2
B23: 2
C23: 3
D23: 3
B24: 3
D24: 4
E24: 2
C25: 2
D25: 2
E25: 3
matriz4: {{B22, C22, D22, E22}, {B23, C23, D23, E23}, {B24, C24, D24, E24}, {B25, C25, D25, E25}}
texto6: "" + (LaTeX[matriz4]) + ""
qq = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
C17 = Segment(ML, LM)
D17 = Segment(MV, VM)
E17 = Segment(MA, AM)
B17: 0
C18: 0
D18 = Segment(LV, VL)
E18 = Segment(LA, AL)
E19 = Segment(VA, AV)
D19: 0
E20: 0
B19 = 0 (slider from -5 to 5, step 0.05)
C19 = 0 (slider from -5 to 5, step 0.05)
B20 = 0 (slider from -5 to 5, step 0.05)
C20: 0
D20: 0
B18 = 0 (slider from -5 to 5, step 0.05)
texto7: "" + C12 + ""
texto12: "" + E14 + ""
m2: matriz3^(2)
m3: matriz3^(3)
m4: matriz4^(4)
texto15: "M^{4}=" + (LaTeX[m4]) + ""
texto14: "M^{3}=" + (LaTeX[m3]) + ""
texto13: "M^{2}=" + (LaTeX[m2]) + ""
I = (-0.23907355629401103, -3.5265779525697654)
K = (20.46644856214396, 0)
qr = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
qs = 1 (slider from 0 to 1, step 1)
M = (2.1179045877453007, -1.6327253385873046)
N: I + (4.5, 0)
CasillaDeEntrada1 = Textfield(C7)
CasillaDeEntrada2 = Textfield(D7)
CasillaDeEntrada3 = Textfield(E7)
CasillaDeEntrada4 = Textfield(D8)
CasillaDeEntrada5 = Textfield(E8)
CasillaDeEntrada6 = Textfield(E9)
texto1: "M \;   = \;  \;  \;  \;  \; " + (LaTeX[matriz3]) + ""
texto9: "" + D12 + ""
texto11: "" + D13 + ""
texto8: "" + E12 + ""
texto10: "" + E13 + ""
J = (1.5720780701783013, -0.8057154634857935)
O = (1.5389976751742416, -1.8394778073626827)
Q = (3.474200782911782, -1.8890983998687734)
R = (1.2991648113948029, -2.74091857122333)
p_1 = Circle(J, 0.05)
k_1 = Circle(O, 0.05)
q_1 = Circle(Q, 0.07)
r_1 = Circle(R, 0.06)