Cajas sin tapa

Hugo y María tienen una cartulina que mide 18 cm por 14 cm. Para hacer una caja recortan un cuadrado uno en cada vértice como aparece en la aplicación.

Después se recortan los cuadrados, se pliega por la línea de puntos y se pega para conseguir una caja en la que el rectángulo central queda como base y no tiene tapa.

¿Entre qué valores puede variar el lado del cuadrado x?. Calcula la superficie de la caja y su volumen para los valores enteros del lado. Comprueba tus resultados con .

Expresa en función de x la suma de las longitudes de las doce aristas de la caja. Puedes comprobar tu resultado y los que obtengas en los apartados siguientes con .

Expresa la superficie de cada una de las caras en función de x. Después suma las cinco caras para dar una expresión de la superficie lateral de la caja (sin tapa). Si los lados de la cartulina miden 18 y 14 cm, la superficie exterior ha de ser igual a la expresión 18·16 − 4x2 (a la superficie inicial le quitamos los cuatro cuadradados en los vértices). Si no es esa la expresión que has obtenido en el apartado anterior, revisa tus simplificaciones hasta conseguir una del tipo 288 − 4x2.

Busca la expresión más simplificada para el volumen de la caja en función de x.

Coloca nuevas medidas para la cartulina con los deslizadores y responde a las preguntas anteriores.

Sup

Vol

x

x

Dimensiones de la cartulina

Lado del cuadrado

Ver tabla

Ocultar tabla

Superficie \;  =

Fórmulas

Tabla

Oculta todas

Long. Aristas

Superficie

Volumen

Ver fórmulas

Ocultar fórmulas

x

x

nt = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
A2: 0
c = 3 (slider from 0 to ab / 2, step 0.5)
b = 14 (slider from 10 to 16, step 0.5)
a = 18 (slider from 10 to 24, step 0.5)
ab = Min(a, b)
J1 = (-2, -1)
f = 3.5 (slider from 1 to 10, step 0.05)
af: a / f
bf: b / f
d: bf / b / b
cf: c / f
J2: J1 + (af, 0)
J3: J1 + (af, bf)
J4: J1 + (0, bf)
polígono1, a1, a2, a3, a4 = Polygon(J1, J2, J3, J4)
J11: J1 + (cf, 0)
J22: J2 + ((-cf), 0)
J33: J3 + ((-cf), 0)
J44: J4 + (cf, 0)
polígono2, g, h, i, j, A, B = Polygon(J1, J11, 4)
polígono3, k, l, m, n, C, D = Polygon(J22, J2, 4)
polígono4, p, q, r, s, E, F = Polygon(J3, J33, 4)
polígono5, t, e, f_1, g_1, G, H = Polygon(J44, J4, 4)
polígono6, a_1, d_1, e_1, h_1 = Polygon(A, D, E, H)
M1: J1 - (0, 3.5)
M2: M1 + (af - (2 * cf), 0)
M3: M1 + (af - (2 * cf), cf)
M4: M1 + (0, cf)
p1, b4, b1, b2, b3 = Polygon(M4, M1, M2, M3)
M22: M2 + ((bf - (2 * cf)) / 2, (bf - (2 * cf)) / 2)
M33: M3 + ((bf - (2 * cf)) / 2, (bf - (2 * cf)) / 2)
M44: M4 + ((bf - (2 * cf)) / 2, (bf - (2 * cf)) / 2)
p2, b2_1, b22, b33, b3_1 = Polygon(M2, M22, M33, M3)
p3, b4_1, b44, b33_1, b3_2 = Polygon(M4, M44, M33, M3)
texto1: "Base = " + a + ""
texto2: "Altura = " + b + ""
texto3: "x = " + c + " "
A3: 0.5
A4 = 1
A5 = 1.5
A6 = 2
A7 = 2.5
A8 = 3
A9 = 3.5
A10 = 4
A11 = 4.5
A12 = 5
A13 = 5.5
A14 = 6
A15 = 6.5
A16 = 7
A17 = 7.5
A18 = 8
A19 = 8.5
A20 = 9
A21 = 9.5
B2: (a * b) - (4 * A2^(2))
B3: (a * b) - (4 * A3^(2))
B4: (a * b) - (4 * A4^(2))
B5: (a * b) - (4 * A5^(2))
B6: (a * b) - (4 * A6^(2))
B7: (a * b) - (4 * A7^(2))
B8: (a * b) - (4 * A8^(2))
B9: (a * b) - (4 * A9^(2))
B10: (a * b) - (4 * A10^(2))
B11: (a * b) - (4 * A11^(2))
B12: (a * b) - (4 * A12^(2))
B13: (a * b) - (4 * A13^(2))
B14: (a * b) - (4 * A14^(2))
B15: (a * b) - (4 * A15^(2))
B16: (a * b) - (4 * A16^(2))
B17: (a * b) - (4 * A17^(2))
B18: (a * b) - (4 * A18^(2))
B19: (a * b) - (4 * A19^(2))
B20: (a * b) - (4 * A20^(2))
B21: (a * b) - (4 * A21^(2))
C2: (((a - (2 * A2)) * (b - (2 * A2))) * A2)
C3: (((a - (2 * A3)) * (b - (2 * A3))) * A3)
C4: (((a - (2 * A4)) * (b - (2 * A4))) * A4)
C5: (((a - (2 * A5)) * (b - (2 * A5))) * A5)
C6: (((a - (2 * A6)) * (b - (2 * A6))) * A6)
C7: (((a - (2 * A7)) * (b - (2 * A7))) * A7)
C8: (((a - (2 * A8)) * (b - (2 * A8))) * A8)
C9: (((a - (2 * A9)) * (b - (2 * A9))) * A9)
C10: (((a - (2 * A10)) * (b - (2 * A10))) * A10)
C11: (((a - (2 * A11)) * (b - (2 * A11))) * A11)
C12: (((a - (2 * A12)) * (b - (2 * A12))) * A12)
C13: (((a - (2 * A13)) * (b - (2 * A13))) * A13)
C14: (((a - (2 * A14)) * (b - (2 * A14))) * A14)
C15: (((a - (2 * A15)) * (b - (2 * A15))) * A15)
C16: (((a - (2 * A16)) * (b - (2 * A16))) * A16)
C17: (((a - (2 * A17)) * (b - (2 * A17))) * A17)
C18: (((a - (2 * A18)) * (b - (2 * A18))) * A18)
C19: (((a - (2 * A19)) * (b - (2 * A19))) * A19)
C20: (((a - (2 * A20)) * (b - (2 * A20))) * A20)
C21: (((a - (2 * A21)) * (b - (2 * A21))) * A21)
H2 = If(A2 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A2, 0, 0])
G2 = If(A2 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A2, 1, 0])
I2 = If(A2 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A2, 0, 0])
H3 = If(A3 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A3, 0, 0])
G3 = If(A3 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A3, 1, 0])
I3 = If(A3 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A3, 0, 0])
H4 = If(A4 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A4, 0, 0])
G4 = If(A4 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A4, 1, 0])
I4 = If(A4 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A4, 0, 0])
H5 = If(A5 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A5, 0, 0])
G5 = If(A5 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A5, 1, 0])
I5 = If(A5 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A5, 0, 0])
H6 = If(A6 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A6, 0, 0])
G6 = If(A6 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A6, 1, 0])
I6 = If(A6 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A6, 0, 0])
H7 = If(A7 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A7, 0, 0])
G7 = If(A7 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A7, 1, 0])
I7 = If(A7 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A7, 0, 0])
H8 = If(A8 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A8, 0, 0])
G8 = If(A8 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A8, 1, 0])
I8 = If(A8 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A8, 0, 0])
H9 = If(A9 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A9, 0, 0])
G9 = If(A9 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A9, 1, 0])
I9 = If(A9 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A9, 0, 0])
H10 = If(A10 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A10, 0, 0])
G10 = If(A10 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A10, 1, 0])
I10 = If(A10 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A10, 0, 0])
H11 = If(A11 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A11, 0, 0])
G11 = If(A11 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A11, 1, 0])
I11 = If(A11 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A11, 0, 0])
H12 = If(A12 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A12, 0, 0])
G12 = If(A12 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A12, 1, 0])
I12 = If(A12 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A12, 0, 0])
H13 = If(A13 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A13, 0, 0])
G13 = If(A13 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A13, 1, 0])
I13 = If(A13 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A13, 0, 0])
H14 = If(A14 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A14, 0, 0])
G14 = If(A14 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A14, 1, 0])
I14 = If(A14 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A14, 0, 0])
H15 = If(A15 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A15, 0, 0])
G15 = If(A15 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A15, 1, 0])
I15 = If(A15 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A15, 0, 0])
H16 = If(A16 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A16, 0, 0])
G16 = If(A16 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A16, 1, 0])
I16 = If(A16 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A16, 0, 0])
H17 = If(A17 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A17, 0, 0])
G17 = If(A17 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A17, 1, 0])
I17 = If(A17 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A17, 0, 0])
H18 = If(A18 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A18, 0, 0])
G18 = If(A18 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A18, 1, 0])
I18 = If(A18 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A18, 0, 0])
H19 = If(A19 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A19, 0, 0])
G19 = If(A19 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A19, 1, 0])
I19 = If(A19 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A19, 0, 0])
H20 = If(A20 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A20, 0, 0])
G20 = If(A20 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A20, 1, 0])
I20 = If(A20 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A20, 0, 0])
H21 = If(A21 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A21, 0, 0])
G21 = If(A21 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A21, 1, 0])
I21 = If(A21 ≥ ab / 2 + 0.1 ∨ nt ≟ 0, 1, If[c ≟ A21, 0, 0])
A22 = NaN
A23 = NaN
A24 = NaN
M11: M1 + ((bf - (2 * cf)) / 2, (bf - (2 * cf)) / 2)
i_1 = Segment(M1, M11)
j_1 = Segment(M11, M22)
I = Intersect(b3, b3_2)
J = Intersect(i_1, b3)
K = Intersect(j_1, b33)
k_1 = Segment(J, M11)
l_1 = Segment(M11, K)
m_1 = Segment(M11, M44)
L = Intersect(m_1, b3)
n_1 = Segment(L, M44)
p_1 = Segment(M11, M44)
q_1 = Segment(M1, M11)
r_1 = Segment(M11, M22)
G1 = If(nt ≟ 0, 1, 0)
H1 = If(nt ≟ 0, 1, 0)
I1 = If(nt ≟ 0, 1, 0)
O1: a
O2: b
O3: c
O4: a - (2 * c)
O5: b - (2 * c)
O6: c
O7: (4 * O4)
O8: (4 * O5)
O9: (4 * O6)
O10: O7 + O8 + O9
P1: (4 * O1)
P2: (4 * O2)
P3: P1 + P2
Q1: (2 * O1)
Q2: (2 * O2)
texto7: "Long. Aristas = 4(" + (LaTeX[a]) + "-2x) + 4(" + (LaTeX[b]) + "-2x)+4x  ="
Q3: (O1 * O2)
texto83: "= \; " + (LaTeX[Q3]) + "-4x^{2}"
texto81: "=2x(" + (LaTeX[O1]) + "-2x) + 2x(" + (LaTeX[O2]) + "-2x) + (" + (LaTeX[O1]) + "-2x)·(" + (LaTeX[O2]) + "-2x) ="
texto82: "=" + (LaTeX[Q1]) + "x-4x^{2}+" + (LaTeX[Q2]) + "x-4x^{2}+" + (LaTeX[Q3]) + "-" + (LaTeX[Q1]) + "x-" + (LaTeX[Q2]) + "x+4x^{2}="
texto9: "Volumen = x·(" + (LaTeX[O1]) + "-2x)·(" + (LaTeX[O2]) + "-2x)= "
Q4: Q1 + Q2
nf = 3 (slider from 0 to 3, step 1)
mf = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
texto71: "=  " + (LaTeX[P1]) + "-8x+" + (LaTeX[P2]) + " -8x+4x ="
texto11: "=" + (LaTeX[P3]) + "   -4x"
texto9a: "=x \;  (" + (LaTeX[O1]) + "-2x) \; (" + (LaTeX[O2]) + "-2x) =x \; ( " + (LaTeX[Q3]) + " - " + (LaTeX[Q1]) + " x- " + (LaTeX[Q2]) + " x+4x^{2})="
texto9b: "=" + (LaTeX[Q3]) + "x-" + (LaTeX[Q4]) + "x^{2}+4x^{3}"