Los Poliedros Regulares

 

 

 

Los Poliedros

1

Los poliedros regulares y sus elementos de simetría. Los cinco poliedros encajados unos dentro de otros.

 

1.1

El tetraedro tiene cuatro ejes de simetría que unen cada arista con el centro de la cara opuesta.

Los cuatro planos de simetría pasan por cada par de vértices contiguos y el punto medio de la arista opuesta.

Tetraedro

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1.2

El cubo tiene 13 ejes de rotación de tres tipos distintos

Los planos de simetría son 9

Cubo

 

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1.3

Comparte los elementos de simetría del cubo aunque algunos cambian de función. Los que en el cubo pasan por vértices, en el octaedro pasan por los centros de las caras y viceversa.

Octaedro ggb

1.4

El dodecaedro tiene 21 ejes de rotación y 15 planos de simetría.

Dodecaedro

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1.5

El icosaedro comparte los elementos de simetría con el dodecaedro

 

Icosaedro

 

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1.6

Los cinco poliedros regulares encajados uno dentro de otro

Omnipoliedro   ggb

 

 

Truncamientos

   

 2

Poliedros que se obtienen al cortar los regulares con planos perpendiculares las diagonales.

 

2.1

Cortamos los cuatro vértices del tetraedro con planos perpendiculares a los ejes de rotación.

Tetraedro truncado

 

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2.2

Cortamos los ocho vértices del cubo con planos perpendiculares a las diagonales espaciales.

Cubo truncado

 

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2.3

Cortamos los seis vértices del octaedro con planos perpendiculares a las diagonales espaciales. Octaedro truncado   ggb

2.4

Cortamos los veinte vértices del dodecaedro con planos perpendiculares a las diagonales que unen vértices opuestos.

Dodecaedro truncado

 

ggb

2.5

Cortamos los doce vértices del icosaedro con planos perpendiculares a las diagonales que unen vértices opuestos

Icosaedro truncado

 

ggb

2.6

Se realizan dos tipos de cortes a un cubo, los que son perpendiculares a las diagonales espaciales y con planos perpendiculares a otros planos que pasan por aristas opuestas.

Pequeño Rombicuboctaaedro

 

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Poliedros estrellados

3

A cada cara de un poliedro le quitamos o le añadimos una pirámide

 

3.1

Formada por dos tetraedros.
La intersección de los dos tetraedros es un octaedro.

Estrella octángula

 

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3.2

Formado al expandir un cubo con las seis pirámides que unen cada una de sus caras con el centro. El poliedro tiene12 caras rómbicas que rellena el espacio.

Dodecaedro rómbico

 

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3.3

Hacemos la simetría de las pirámides que unen cada cara triangular con el centro del octaedro. Cuando hacemos que las caras de las pirámides sean triángulos equiláteros, tenemos la estrella octángula.

Octaedro estrellado

 

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3.4

Las pirámides de base pentagonal con el vértice en el centro del dodecaedro se llevan al exterior

Dodecaedro estrellado

 

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3.5

Las pirámides de base triangular con el vértice en el centro del icosaaedro se llevan al exterior

Icosaedro estrellado

 

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 4

Relaciones entre poliedros

     

 

Combinaciones con dos o más poliedros para dar lugar a otros nuevos.

 

4.1

La relación entre el cubo y el octaedro. Las caras de uno son los vértices del otro y viceversa. Los dos tienen el mismo número de aristas

Dualidad

 

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4.2

Algunas diagonales espaciales del icosaedro están en proporción áurea con su arista.

Icosaedro en el aire

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4.3

Poliedro compuesto por un cubo y un octaedro cuyas aristas se cortan en los puntos medios.

Octaedro + Cubo

 

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4.4 Poliedro compuesto por un dodecaedro y un icosaedro cuyas aristas se cortan en los puntos medios. Dodecaedro+icosaedro   ggb

4.5

Las aristas del cubo se colocan sobre las diagonales de las caras del dodecaedro

Cinco cubos en un dodecaedro

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4.6

Las aristas de los tetraedros se colocan sobre las diagonales de los cubos de la aplicación anterior.

Cinco tetraedros en un dodecaedro 

 

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4.7

Cortes con planos perpendiculares a ciertas rectas para obtener polígonos como secciones en el cubo

Secciones planas del cubo

 

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